Soit $\omega $ une $(p,q)$ forme $\bar \partial $ -fermée dans ${\mathbb{C}}^{n},$ à support compact $K:=\Supp \omega$ et telle que $\omega \in L^{r}({\mathbb{C}}^{n}).$ Mettant
$K$ dans une boule ${\mathbb{B}}:=B(0,R)$ de rayon $R$ assez grand, par un théorème d'Ovrelid on sait qu'il existe une $(p,q-1)$ forme $u\in L^{r}({\mathbb{B}})$ telle que
$\bar \partial u=\omega.$ D'autre part on sait aussi, au
moins pour $q<n,$ qu'il existe un courant $v$ à support
compact tel que $\bar \partial v=\omega ,$ grâce à un
théorème d'Andréotti-Grauert.
Une question naturelle est donc de savoir s'il existe une solution $u$ à $\bar \partial u=\omega $ à support compact et dans $L^{r}({\mathbb{C}}^{n})\ ?$
La réponse est affirmative et je vais présenter deux approches pour cela.
La première est la méthode des couronnes introduite en
collaboration avec Samuele Mongodi.
La seconde étend le résultat aux variétés de Stein et
est inspirée par la dualité de Serres. Comme le théorème
de Hahn-Banach est utilisé, cette méthode n'est pas constructive contrairement à la méthode des couronnes, mais le contrôle du support de la solution est meilleur.