Raphaël Ruimy

The geomety of the complex solutions of a polynomial equations (in several variables) already contains many informations about its rational or integral solutions. Those complex solutions form an "algebraic" subset of C^n: it is the zero locus of polynomials. We will see how its geometric invariants (genus, Betti numbers) that we will re-introduce in the presentation, strongly influence the number of solutions modulo p (or more generally in a finite field) of the same equations. This will lead to the formulation by Weil of his conjectures in the 1940's. Those conjectures have been solved by Deligne in the 1970's but have lead to many further developpement since the 2000's: motives, motivic homotopy, etc. We will try to define the objectives of those theories.

On peut apprendre beaucoup de choses sur les solutions rationnelles ou entières d'équations polynomiales (en plusieurs variables) rien qu'en s'intéressant à la géométrie de leurs solutions complexes. Ces solutions complexes forment des sous-ensembles de C^n dit "algébriques" car ce sont des lieux de zéros de polynômes. On verra comment leurs invariants algébriques (genre, nombres de Betti) que l'on prendra le temps de redéfinir contraignent par exemple le nombre de solutions modulo p (ou plus généralement dans un corps fini) de ces équations. Cela nous amènera à la formulation par Weil de ses conjectures dans les années 1940. Ces conjectures ont été résolues par Deligne dans les années 1970, mais ont donné lieu depuis à de nombreux développements depuis le début des années 2000 : théorie des motifs, homotopie motivique, etc. dont on essaiera de définir les objectifs.