Bruno Schapira

La marche 1-renforcée est un des exemples importants (au moins historiquement) de processus renforcé, introduit par Davis au début des années 90. Initialement il était censé être plus simple à étudier que le modèle de la marche renforcée linéairement, pour lequel la récurrence sur $Z^2$ et une transition de phase entre récurrence et transience en dimension supérieure viennent d’être démontrées récemment. En ce qui concerne la marche 1-renforcée, un critère caractérisant la récurrence vs transience a été trouvé tout récemment par Collevecchio, Kious et Sidoravicius, dans le cas des arbres. En revanche la question est encore totalement ouverte sur le réseau $Z^d$ (sauf pour $d=1$). Dans cet exposé, nous tenterons d’expliquer les grandes lignes d'une preuve de la récurrence sur des graphes du type $Z \times \{1,…,L\}$, pour tout paramètre de renforcement assez grand. En particulier certaines des idées essentielles proviennent d’un article non publié de Vervoort. Mais nous verrons que la preuve nécessite également d’autres ingrédients importants, potentiellement les plus intéressants, faisant notamment intervenir des problèmes liés aux marches aléatoires sur les réseaux éléctriques. Travail en commun avec Daniel Kious et Arvind Singh.