Desjardins Julie

Pour une surface algébrique X, on s'intéresse à l'ensemble des points rationnels X(ℚ). Est-il non-vide ? Est-il infini ? Est-il dense pour la topologie de Zariski ? Nous nous intéresserons aux surfaces elliptiques qui peuvent être vues comme des familles à un paramètre de courbes elliptiques. La densité des points rationnels de ce type de surfaces est encore mal connu en général. Lorsque la surface est isotriviale, on démontre la densité dans la plupart des cas. De plus, en étudiant la variation du signe de l'équation fonctionnelle des fibres on peut prédire la densité pour les surfaces non isotriviales conditionnellement à plusieurs conjectures (conjecture de parité, squarefree conjecture et conjecture de Chowla). Ces conjectures imposent une restriction sur le degré des facteurs irréductibles du discriminant. On peut les éviter dans certains cas, et ainsi obtenir la variation du signe inconditionnelle sur plusieurs familles de surfaces elliptiques.