Journée Groupes de Kac-Moody

Une journée ``Groupes de Kac-Moody'' aura lieu le vendredi 23 janvier 2009 dans la salle 04 de l'Institut. Programme de la journée : |11h -12h|Bertrand RÉMY
Université Lyon 1, UFR Mathématiques|Constructions récentes de groupes discrets simples| Résumé : Il s'agit d'expliquer les questions de base en rapport avec l'existence et la construction de groupes infinis, simples et de type fini (c'est-à-dire engendrés par une partie finie). C'est un problème naturel de théorie des groupes. Une remarque de départ est que, pour les groupes infinis de type fini, être simple et être linéaire (c'est-à-dire isomorphe à un groupe de matrices) sont des propriétés incompatibles. Ceci force à travailler sur des groupes pour lesquels les techniques de groupes de matrices ou de groupes algébriques sont inopérantes (mais pas les intuitions !). On expliquera qu'une question plus délicate et plus intéressante est celle de la construction de groupes infinis simples qui soient de présentation finie (c'est-à-dire pouvant être définis par une famille finie de générateurs soumis à un nombre fini de relations). On finira en expliquant une stratégie récente de construction (M. Burger et Sh. Mozes), s'appuyant sur une analogie (forcément limitée) avec les réseaux des groupes de Lie. Les groupes obtenus agissent sur le produit de deux arbres -- un premier exemple d'immeubles. |14h -15h|Bertrand RÉMY
Université Lyon 1, UFR Mathématiques|Immeubles et réseaux des groupes d'automorphismes ; groupes de Kac-Moody| Résumé : On va passer la première partie de l'exposé à expliquer ce qu'est un immeuble, en présentant les exemples classiques (sphériques, euclidiens) et leurs usages historiques. Ensuite on passera à des exemples exotiques, dans le sens où ils ne sont pas associés à des groupes de matrices ou des groupes algébriques. Certains d'entre eux ont malgré cela des propriétés intéressantes, au moins parce que leurs groupes d'automorphismes sont suffisamment transitifs. Ce point rend ces groupes proches des groupes de Lie sur les corps locaux. Par conséquent une question naturelle est de discuter l'existence et la construction de réseaux pour ces groupes d'automorphismes. Une famille de groupes et immeubles conduisant à cette situation est fournie par les groupes de Kac-Moody, construits par J. Tits à la fin des années 80. |15h15 -16h15|Bertrand RÉMY
Université Lyon 1, UFR Mathématiques|Applications de deux généralisations de théorèmes sur les réseaux linéaires : simplicité et super-rigidité| $Résumé : On va revenir sur les problèmes présentés dans le premier exposé (construction de groupes simples vs linéarité de groupes) dans le cadre des groupes et des immeubles introduits à la fin de l'exposé précédent. Précisément, on s'intéresse aux réseaux de Kac-Moody, c'est-à-dire aux groupes obtenus en spécialisant la construction de Tits au cas d'un corps de base fini. On présentera deux usages de généralisations de théorèmes dus à G. Margulis quand les groupes discrets considérés sont des réseaux de groupes de Lie semi-simples. Les résultats en question sont les théorèmes de super-rigidité et le théorème du sous-groupe normal. Ce dernier théorème dit que dans un réseau de groupe de Lie simple de rang au moins 2 (penser à $\rm{SL}_n(\bf{Z})$ pour $n \geq 3$), tout sous-groupe normal est ou bien central et fini, ou bien d'indice fini. On obtient les premiers groupes infinis simples de présentation finie avec la propriété (T) de Kazhdan. On démontre aussi qu'un réseau de Kac-Moody de rang supérieur ne peut agir non trivialement sur un espace métrique issu d'une large classe d'espaces à courbure strictement négative. L'atelier est partiellement financé par le projet ANR « Repsurf ».} $