Théorie KAM pour des cocycles Liouvilliens

Un cocycle quasi-périodique analytique à valeurs dans $SL(2,R)$ est un difféomorphisme de $R/Z \times SL(2,R)$ de la forme
$(\alpha,A):(x,y)\mapsto (x+\alpha,A(x)y)$
où $A:R/Z\to SL(2,R)$ est
analytique.
L'étude des itérés de $(\alpha,A)$ est équivalente à celle des produits fibrés de $A$ le long d'une
orbite de translation. Nous démontrons
que, pourvu que $A$ soit suffisamment petit,
si $\alpha$ est irrationnel et le nombre de rotation fibré de $(\alpha,A)$ est diophantien par rapport
à $A$, alors le cocycle $(\alpha,A)$ est conjugué
à un cocycle de rotations: il existe $B:R/Z\to SL(2,R)$ tel que $(0,B)
\circ (\alpha,A)\circ (0,B)^{-1}$ est à valeurs dans $SO(2,R)$.
Ce théorème est une généralisation d'un théorème de Dinaburg-Sinai
(où le cas $\alpha$ diophantien était traité). La preuve qui combine des
idées de renormalisation et des méthodes perturbatives peut être vue
comme une procédure de type KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser) dans un
cadre Liouvillien.