Paradoxe de Banach Tarski.

Il est possible de découper une boule (pleine) de $R^3$ en un nombre fini de morceaux, de déplacer ces morceaux à l'aides d'isométries de $R^3$, et d'obtenir DEUX boules, chacune aussi grosse que la boule de départ.

Au contraire, si on découpe une partie de R² en un nombre fini de morceaux, et qu'on les déplace à l'aide d'isométries, le nouvel objet obtenu aura la même surface que l'objet de départ, quelle que soit la façon dont on l'a découpé.

Cette multiplication du volume est connue sous le nom de Paradoxe de Banach-Tarki, nous montrerons comment elle est possible, et ce que ces deux résultats nous disent sur l'existence de mesures complètes sur $R^n$.