Xavier Caruso

La théorie des équations différentielles linéaires diffère sensiblement
en caractéristique nulle et en caractéristique positive. Par exemple le
célèbre théorème de Cauchy-Lipschitz ne vaut plus en caractéristique p
avec p > 0 : il existe des équations différentielles linéaires qui, pour
certaines conditions initiales, n'admettent aucun solution développable
en série entière.
On sait définir toutefois un invariant algébrique permettant de mesurer
ce défaut : c'est la p-courbure. Mais, loin de se limiter à cela, les
applications de la p-courbure sont foisonnantes : en particulier, elles
jouent un rôle central dans la factorisation des opérateurs différentiels
aussi bien sur le plan théorique que sur celui de l'algorithmique.
Dans cet exposé, je présenterai deux nouveaux algorithmiques en lien avec
le calcul de la p-courbure : le premier permet un calcul complet de celle
ci en temps quasi-optimal, tandis que le second permet d'obtenir avec une
meilleure complexité son polynôme caractéristique. Ces deux algorithmes
ont permis de vérifier certaines hypothèses faites par les physiciens sur
le modèle d'Ising.
Travail en commun avec A. Bostan et É. Schost.