Structure cluster sur les anneaux de coordonnées de variétés de drapeaux.

Soit G un groupe algébrique semi-simple, simplement connexe de type A,D,E. Fomin et Zelevinsky conjecturent que les anneaux de coordonnées de nombreuses variétés intéressantes reliées à  G ont une
structure naturelle d'algèbre cluster. Dans un travail récent avec
C. Geiss et J. Schröer, nous réalisons une partie de ce programme en
introduisant une structure cluster sur l'anneau des coordonnées
multi-homogènes de G/P pour tout sous-groupe parabolique P de G.
Ceci n'était connu que dans le cas où P=B est un sous-groupe de Borel
(Berenstein-Fomin-Zelevinsky) et dans le cas où G/P est la Grassmannienne Gr(k,n) (Scott). Nous donnons une classification des paires (G,P) pour lesquelles l'algèbre cluster obtenue est de type fini.Notre construction s'appuie sur une algèbre de dimension finie
associée à  G, l'algèbre préprojective, qui fut introduite en 1979
par Gelfand et Ponomarev.