Stéphane Jaffard

Introduite par J.-C. Yoccoz, la fonction de Brjuno  fournit une information importante sur les problèmes de petits diviseurs analytiques.  Elle semble ne posséder aucune régularite en un sens raisonnable: elle n'est nulle part localement bornée,  et on ne peut donc même pas essayer de tracer son graphe. Cette question va cependant nous permettre de revisiter et de relier plusieurs domaines apparemment éloignés.

La recherche d'une notion de régularité ponctuelle adaptée à la fonction de Brjuno nous conduira aux travaux des années 1960  de Calderon et Zygmund concernant les EDP elliptiques: la notion de p-exposant qu'ils ont introduite permet en effet de ``mesurer '' cette régularité, qui s'avère elle-même extrêmement irrégulière, puisque qu'elle dépend des propriétés d'approximation diophantienne du point considéré. On parle alors de fonction multifractale: les ensembles des points présentant un exposant de régularité donnée sont  fractals  (au sens où leur dimension de Hausdorff est en général non entière).

Nous verrons que ce lien remarquable entre régularité ponctuelle et approximation diophantienne est partagé par de nombreuses fonctions:  certaines séries de Fourier liées aux fonctions modulaires, dont l'exemple le plus simple est la ``fonction non-différentiable de Riemann''
$$\sum { \sin (\pi n^2 x)}/{n^2}$$,
mais aussi les séries de Davenport
$$\sum a_n \{ nx \}$$,
où  $$ \{ x \} = x-[x] -1/2$$ est la ``fonction en dents de scie''.

L'exposé s'achèvera par l'évocation de quelques questions ouvertes:
Y a-t-il plus que de simples analogies entre la fonction de Brjuno (et ses  généralisations), certaines séries de Fourier remarquables et les séries de Davenport?
L'étude de la fonction de Brjuno fournit-elle des éléments  pour établir une classification  des singularités ponctuelles des fonctions?