Simon Donaldson Docteur Honoris Causa de l'UJF

Simon Donaldson recevra le titre de Docteur Honoris Causa de l’Université Joseph Fourier le 7 janvier 2015 à 17h à l'Institut Fourier.

 

Sir Simon Kirwan Donaldson est un éminent mathématicien britannique. Né le 20 août 1957, il est internationalement connu depuis le début des années 1980 pour ses travaux fondamentaux sur la topologie des variétés de dimension quatre, la géométrie symplectique et la géométrie différentielle complexe.

Donaldson a obtenu son Bachelor of Arts de mathématiques au Pembroke College en 1979, et a effectué ses travaux de troisième cycle sous la direction de Nigel Hitchin, puis de Michael Atiyah. Il est encore étudiant lorsqu'il prouve, en 1982, un résultat qui le rendit célèbre, dans l'article "Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds" paru dans le Bulletin de l'American Mathematical Society en 1983. Ce travail, qui a profondément marqué la communauté mathématique et a engendré de nombreuses retombées en géométrie et en topologie, lui vaut la médaille Fields en 1986. Entre autres distinctions, Donaldson a ensuite reçu le prix Crafoord en 1994, le prix international du roi Fayçal al-Saoud en 2006, le prix Nemmers de la Northwestern University en 2008, et le Shaw Prize in Mathematics, partagé avec Clifford Taubes, en 2009. Il est fait chevalier de la Reine le 31 décembre 2011, pour services rendus aux mathématiques.

Un fil conducteur des travaux de Donaldson est l'application de l'analyse mathématique, en particulier l'analyse des équations aux dérivées partielles elliptiques, à des problèmes de géométrie. Ses premiers travaux ont apporté un éclairage entièrement nouveau sur la topologie des variétés de dimension quatre, à la suite de ceux de Michael Freedman qui traitaient plutôt de la classification des 4-variétés topologiques. Donaldson utilise de son côté un puissant arsenal issu de la théorie de jauge et de la théorie quantique des champs, et caractérise les solutions sous forme d'instantons. Entre 1983 et 1987, il énonce son fameux théorème de diagonalisation : si la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable lisse compacte simplement connexe est définie positive ou négative, alors elle est diagonalisable sur les entiers. Ceci implique que de nombreuses variétés topologiques de dimension quatre n'admettent aucune structure différentiable. Donaldson utilise également la théorie de jauge pour définir des invariants polynomiaux. Ces derniers sont des invariants topologiques sensibles à la structure différentiable de la variété. Ils ont été d'une utilité décisive pour prouver l'existence de structures lisses «exotiques» : certaines variétés topologiques de dimension quatre - en particulier l'espace euclidien de dimension quatre - peuvent supporter une infinité de structures lisses différentes ; d'autre part une surface algébrique projective non singulière ne peut être difféomorphe à la somme connexe de deux 4-variétés orientées que si l'une d'elles a une forme d'intersection définie négative (Donaldson, 1990).

Dans le domaine de la géométrie complexe, Simon Donaldson a tout d'abord apporté une contribution fondamentale à l'étude de la correspondance dite de Kobayashi-Hitchin, en montrant dans le cas des surfaces algébriques projectives que l'existence de métriques Hermite-Einstein pour les fibrés vectoriels holomorphes découle de la propriété de stabilité pour les sous-faisceaux analytiques. Signalons qu'une autre approche plus générale a pu ensuite être mise au point par Karen Uhlenbeck et Shing-Tung Yau dans le cadre kählérien de dimension quelconque, autour de 1986. En utilisant des techniques asymptotiques et des idées profondes de géométrie presque complexe, Donaldson montre en 1999 que toute variété symplectique compacte admet un pinceau de Lefschetz symplectique. Depuis les années 2000, une grande partie de ses travaux est centrée sur la question de l'existence de métriques de Kähler extrémales, en particulier les métriques dites cscK (métriques de Kähler à courbure scalaire constante). La conjecture essentielle, d'abord suggérée par Shing-Tung Yau puis précisée par Gang Tian vers 1996-1997, était une une relation hypothétique entre les conditions "stabilité" algébro-géométrique des variétés projectives lisses via et l'existence de métriques de Kähler extrémales. Dans un premier temps, autour de 2001, Donaldson est parvenu à résoudre le cas des variétés de Fano toriques. Très récemment, en 2012, l'idée de considérer les solutions d'équations de Monge-Ampère à singularités coniques a permis à Donaldson d'élucider entièrement le problème de l'existence des métriques Kähler-Einstein sur les variétés de Fano, en collaboration avec Xiu-Xiong Chen et Song Sun. C'est peu de dire que ces travaux ont engendré une grande effervescence dans le monde !

Jean-Pierre Demailly, professeur à l'université Joseph Fourier - Institut Fourier - Grenoble.

Références

• Atiyah, M. (1986). "On the work of Simon Donaldson". Proceedings of the International Congress of Mathematicians.
• Donaldson, S. K. (1983). "An application of gauge theory to four-dimensional topology". J. Differential Geom. 18: 279–315. .
• Donaldson, S. K. (1983) "Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds". Bull. Amer. Math. Soc. 8 (1): 81–84. doi:10.1090/S0273-0979-1983-15090-5.
• Donaldson, S. K. (1987).  "The orientation of Yang-Mills moduli spaces and 4-manifold topology". J. Differential Geom. 26 (3): 397–428.
• Donaldson, S. K. (1987). "Irrationality and the h-cobordism conjecture". J. Differential Geom. 26 (1): 141–168.
• Donaldson, S. K. (1987). "Infinite determinants, stable bundles and curvature". Duke Math. J. 54 (1): 231–247. doi:10.1215/S0012-7094-87-05414-7.
• Donaldson, S. K (1990). "Polynomial invariants for smooth four-manifolds". Topology 29 (3): 257–315. doi:10.1016/0040-9383(90)90001-Z. 
• Donaldson, S. K (1990) & Kronheimer, P. B. The geometry of four-manifolds. Oxford Mathematical Monographs. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853553-8.[7]
• Uhlenbeck, K. & Yau, S.-T. (1986). "On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections in stable vector bundles". Comm. Pure Appl. Math. 39 (S, suppl.): S257–S293. doi:10.1002/cpa.3160390714. 
• Donaldson, S. K (1999). "Lefschetz pencils on symplectic manifolds". J. Differential Geom. 53 (2): 205–236. 
• Donaldson, S. K (2001). "Scalar curvature and projective embeddings. I". J. Differential Geom. 59 (3): 479–522.
•  Donaldson, S. K (2011). Riemann surfaces. Oxford Graduate Texts in Mathematics 22. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-960674-0.[6]
• Donaldson, S. K  (2012) & Chen, Xiu-Xiong & Sun, Song. Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities, arXiv: math.DG/1211.4566; II: limits with cone angle less than 2π, arXiv: math.DG/1212.4714; III: limits as cone angle approaches 2π and completion of the main proof, math.DG/1302.0282.