Processus de Langevin et réflexion au second ordre: le processus ressuscité

Considérons une particule stochastique, soumise à une force aléatoire, un bruit blanc. Sa vitesse est alors un mouvement Brownien, et sa position un processus de Langevin. Mais comment se comporte la particule si elle est réfléchie sur une barrière partiellement élastique?

Le rebond est naturellement modélisé par une équation aux dérivées partielles stochastique appelée réflexion au second ordre. Nous verrons qu'il y a essentiellement deux régimes, que nous décrirons. Si le coefficient d'élasticité de la réflexion est supérieur à 0,163, la particule rebondira de moins en moins souvent et avec des vitesses de plus en plus grandes. Au contraire, s'il est plus petit, la particule rebondira une infinité de fois en un temps fini. Le processus, loin d'être immobile à partir de cet instant, est ressuscité, en redécollant immédiatement de la barrière.

Nos résultats se formalisent sous la forme d'existence et d'unicité faibles de la solution à la réflexion au second ordre. Ils contrastent fortement avec la réflexion au second ordre déterministe pour laquelle l'unicité des solutions n'est pas garantie.

L'exposé fera appel à divers processus stationnaires (dont la marche aléatoire spatialement stationnaire), à la théorie du renouvellement, à la théorie des excursions d'Itô, et aux h-transformées au sens de Doob.