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La règle de Descartes implique qu'un polynôme réel en une variable avec m+1 monomes distincts possède au plus 2m racines réelles. En particulier, si le degré d'un tel polynôme est grand par rapport au nombre de monômes, peu de racines complexes sont en fait réelles.
En 1980 Khovansky a montré qu'un tel phénomène n'était pas propre
aux polynômes en une variable. Il a proposé une borne pour le nombre de solutions réelles d'un système de n équations polynomiales en n variables qui ne dépend que du nombre total de monômes distincts. Néanmoins, cette borne parait extrêmement grande.
Dans cette exposé, on présentera de nouvelles bornes fewnomiales obtenues très récemment avec Frank Sottile. Ces bornes améliorent considérablement celles de Khovansky.
La preuve se ramène à l'étude d'un système de Gale, dont on majore
le nombre de solutions réelles en utilisant un peu de géométrie différentielle, de la géométrie torique et de la combinatoire des polytopes.
