Dans cet exposé, nous allons présenter les propriétés de quelques complexes de section $L^2$ associée à une variation de structure de Hodge polarisée sur une variété Kählerienne. Nous allons nous intéresser plus particulièrement au cas d'un revêtement galoisien d'une courbe ouverte $M$ ayant une métrique de type Poincaré. Nous allons montrer que l'on obtient une structure de Hodge pure sur les groupes de cohomologie de ces complexes après tensorisation avec une algèbre convenable dépendant du groupe du revêtement. Nous allons faire le lien si le temps le permet avec la théorie de la cohomologie $L^2$ des modules de Hodge développée par P. Eyssidieux.