Marie Trin

Dans cet exposé on s'intéressera au problème de comptage suivant : étant donnée l'action du mapping class group  sur les courbes d'une surface hyperbolique de type fini, combien y a-t'il d'éléments de longueur au plus L dans un orbite donnée ? La réponse à cette question est due (dans le cas le plus général) à Mirzakhani et a récemment été retrouvée (et étendue pour des longueurs non-hyperboliques sur les mêmes surfaces) par Erlandsson-Souto en étudiant la convergence de familles de mesures invariantes. On verra comment cette méthode peut s'appliquer au comptage des orbites d'orthogéodésiques dans des surfaces à bords. On abordera ensuite une application notable de ces résultats de comptage : l'étude comparative des différents types de courbes (deux courbes sont du même type si elles sont dans la même orbite pour l'action du mapping class group). Les réponses aux problèmes de comptage ci-dessus permettent d'étudier les fréquences d'apparition relatives des différents types. On se penchera sur les résultats existants pour les courbes simples, notamment dus à Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich, et on énoncera les premiers résultats de travaux en cours avec Liu, Rafi et Souto dans le cas des courbes avec intersection.