Benoît Cadorel

On sait depuis les travaux de Baily-Borel-Mok que tout quotient de la boule complexe par un réseau (discret, à covolume fini) admet une structure de variété quasi-projective. Les compactifications minimales de ces objets sont des variétés à fibrés canonique ample, obtenues en ajoutant au bord un nombre fini de points: ces points donnent alors lieu à des singularités log-canoniques. On peut naturellement se demander comment caractériser algébriquement les variétés ainsi obtenues : étant donnée une variété à canonique ample et singularités log-canoniques, quand peut-on exhiber un ouvert qui se laisse uniformiser par la boule ? Cette question donne une extension au cas log-canonique d'une multitude de travaux récents, discutant plutôt les cas klt et orbifold (Greb-Kebekus-Peternell-Taji, Deng, Claudon-Guenancia-Graf...)
Je présenterai un résultat d'uniformisation de ce type, sous une hypothèse un peu plus forte sur les singularités : comme c'est l'usage, le critère en question sera formulé en termes d'une certaine inégalité de Miyaoka-Yau. On verra que la stratégie générale de la preuve est d'essayer d'éviter une classe d'exemples décrite par Mostow-Siu-Deraux, en exploitant le caractère log-canonique des singularités. La théorie des variétés spéciales de Campana sera utilisée d'une manière cruciale dans les arguments.