Nicolas Forien

Considérons, sur chaque case du réseau Z^d, un certain nombre de grenouilles qui peuvent être ou bien actives ou bien endormies. On démarre avec une certaine configuration aléatoire de grenouilles toutes actives, avec par exemple des nombres de grenouilles actives sur chaque site i.i.d. de moyenne mu (la loi précise importe peu). Chaque grenouille active effectue une marche aléatoire symétrique en temps continu sur Z^d, avec un taux de saut 1. Par ailleurs, quand une grenouille active est seule sur un site, elle s'endort avec un certain taux lambda. Une grenouille endormie cesse de bouger, jusqu'à ce qu'une autre grenouille arrive sur le même site, ce qui la réveille.

Il existe une densité critique mu_c(lambda), qui dépend du taux d'endormissement lambda, en-dessous de laquelle presque sûrement toutes les grenouilles finissent par s'endormir, et au-dessus de laquelle presque sûrement aucune grenouille ne s'endort définitivement.

Dans cet exposé, je présenterai mon travail récent avec Alexandre Gaudillière (arxiv.org/abs/2203.02476) qui montre que la densité critique est strictement inférieure à 1 pour lambda assez petit, en tout dimension, c'est-à-dire que pour un taux d'endormissement assez petit et une densité initiale de grenouilles actives suffisamment proche de 1 mais tout de même inférieure à 1, les grenouilles ne s'endorment jamais toutes.