Laurent Miclo

Un temps fort de stationnarité associé à un processus de Markov ergodique $X$ est un temps d'arrêt $\tau$ qui est indépendant de la position arrêtée $X_\tau$ et tel que cette dernière soit distribuée selon la probabilité invariante.
On présentera une condition nécessaire et suffisante pour l'existence de temps forts de stationnarité pour les diffusions ergodiques réelles, quelle que soit leur distribution initiale. Les temps forts de stationnarité sont construits à travers des entrelacements avec des processus duaux, au sens de Diaconis-Fill, et à valeurs dans l'ensemble des segments de la ligne étendue $[-\infty,+\infty]$. Ils peuvent être vus comme des transformées de Doob naturelles de l'extension au contexte des diffusions des ensembles évoluants de Morris-Peres. Partant d'un singleton, le processus dual commence par se transformer en un "vrai segment" de la même manière qu'un processus de Bessel de dimension 3 s'échappe de 0. Le temps fort de stationnarité correspond au premier temps où $[-\infty,+\infty]$ est atteint. Le processus d'Ornstein-Ulhenbeck ne peut pas être traité de cette manière, on verra néanmoins comment utiliser d'autres temps forts pour retrouver le taux de convergence exponentiel optimal pour la variation totale.