Loïc Chaumont

D'après une extension récente de la représentation de Lamperti, tout processus markovien auto-similaire d'indice $\alpha>0$ et à valeurs réelles $X$, peut être exprimé comme $X_t=J_t\exp \xi_{\tau_t}$, où $(J,\xi)$ est un processus markovien additif et $\tau_t$ l'inverse de $\int_0^t\exp\xi_s\,ds$. Nous montrons que la même transformation du processus dual de $(J,\xi)$ par rapport à la mesure $\pi_{\mbox{sign}(y)}(dy)dx$, où $(\pi_{-},\pi_+)$ est la loi invariante de la chaîne de Markov $J$, est elle-même en dualité avec $X$ par rapport à la mesure $\pi_{\mbox{sign}(x)}|x|^{\alpha-1}dx$. De plus le processus dual $\widehat{X}$ a la même loi que la fonctionnelle $I(X)=(X^{-1}_{\gamma_t},t\ge0)$ de $X$, où $\gamma_t$  est l'inverse de $t\mapsto\int_0^t|X|_s^{-2\alpha}\,ds$.

Comme application de ce résultat nous montrons que dans certains cas, $I(X)$ peut être obtenue comme une $h$-transformée d'un processus adapté à la filtration de $X$, ce qui entraîne l'existence de la transformée de Kelvin. Ces résultats sont ensuite étendus en dimension supérieure. Nous verrons le cas particulier des processus markoviens auto-similaires isotropes qui satisfont à la propriété de `skew product'.

Ce travail a \'et\'e fait en collaboration avec Larbi Alili, Piotr Graczyk et Tomasz \.Zak.