Emmanuel Trélat

Le but de cet exposé est d'étudier des problèmes d'optimisation de domaine pour l'équation des ondes, de Schödinger, ou de la chaleur, sur un domaine $\Omega$ en dimension quelconque, avec des conditions frontières s'il y a un bord, de type Dirichlet, Neumann, mixtes, ou Robin. Etant donné un état initial, on peut observer la solution de l'équation sur un sous-ensemble $\omega$ de $\Omega$, ou bien la contrôler vers l'équilibre (par exemple par la méthode HUM), ou encore la stabiliser (par damping linéaire) avec un contrôle de support $\omega$.

 

Dans les trois cas on se pose la question de déterminer quel est le "meilleur" domaine possible $\omega$ parmi tous les sous-ensembles de $\Omega$ de mesure donnée (disons $L|\Omega|$ avec $0<L<1$). Ces questions sont d'abord étudiées à donnée initiale fixée, puis indépendamment des données initiales : par exemple on se pose le problème de maximiser la constante d'observabilité parmi les domaines précédents. Il s'avère que ce problème est lié aux propriétés d'ergodicité quantique du domaine Omega et notamment aux propriétés de type QUE (Quantum Unique Ergodicity).

 

Ce sont des travaux en collaboration avec Y. Privat (CNRS, ENS Rennes) et E. Zuazua (BCAM Bilbao, Spain).