Groupes approximatifs et cinquième problème de Hilbert.

Soit A une partie finie d'un groupe G telle que l'ensemble AA des produits de deux éléments de A puisse être recouvert par au plus K translatés à gauche de A. On dit que A est un sous-groupe K-approximatif de G. Quand G est commutatif l'étude de ces objets est classique et appartient à la théorie des nombres et la combinatoire additives. Ces dernières années l'étude du cas non-commutatif s'est révélée cruciale pour de nombreux problèmes, notamment pour établir des trous spectraux pour les graphes de Cayley de groupes finis. Dans un travail en commun avec Ben Green et Terence Tao nous obtenons un théorème de structure des groupes approximatifs qui est aux groupes approximatifs ce que les théorèmes de Gleason, Yamabe et Montgomery-Zippin à propos du cinquième problème de Hilbert sont aux groupes localement compacts. La preuve s'inspire d'idées de Hrushovski venant de la théorie des modèles. Le théorème a plusieurs applications à la croissance des groupes (généralisations du théorème de Gromov) et à la géométrie (preuve d'un lemme de Margulis généralisé, classification des variétés Riemanniennes à courbure presque positive).