Convéxité des domaines d'injectivité et régularité du transport optimal

Considérons une variété riemannienne, deux mesures à  densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique. Le critère décisif pour obtenir de la régularité sur l’application de transport optimal d'une mesure vers l'autre s’avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). De façon surprenante la positivité de ce tenseur contient des informations géométriques sur la variété riemmanienne. Nous montrerons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des domaines d’injectivité.