Espaces de Sobolev fractionnaires entre variétés et homotopie.

Certaines équations aux dérivées partielles qui s'écrivent comme l'équation d'Euler-Lagrange d' un problème de calcul des variations où les fonctions admissibles sont à  valeurs dans une variété, possèdent en général plusieurs solutions. Idéalement, on cherche une solution dans chaque classe d'homotopie de l'ensemble des fonctions admissibles. Cela nécessite en particulier la connaissance de ces classes d'homotopie.

Dans cet exposé, on répondra aux questions suivantes :

Pour $M$ et $N$ deux variétés compactes connexes riemaniennes,
* l'espace de Sobolev fractionnaire $W^{s,p}(M,N)$ est-il connexe par arcs ?

* sinon, quand deux éléments $u$ et $v$ de $W^{s,p}(M,N)$ peuvent-ils être connectés continûment ?

On verra que les réponses à  ces questions dépendent des valeurs de $s$ et $p,$ ainsi que de la topologie des variétés $M$ et $N.$