Une dérivation de l'équation de Boltzmann linéaire

On a longtemps considéré la matière comme étant un milieu continu, puis, au début du 20è siècle, il est devenu clair qu'elle est en fait constituée de particules qui obéissent aux lois de la mécanique quantique. Un nouveau problème s'est donc posé: Comment la physique macroscopique, qui est très bien décrite en termes de milieux continus, émerge-t-elle de la physique microscopique pour un grand nombre de particules ? Bien que des physiciens aient obtenu des résultats dans cette direction dès la fin du 19è siècle (d'une façon non rigoureuse d'un point de vue mathématique), avec des modèles microscopiques classiques, ce problème est aujourd'hui encore loin d'être résolu en général. Des démonstrations rigoureuses des liens entre les comportements aux deux échelles ne sont connus que dans des cas particuliers.

Nous décrirons un exemple un tel cas particulier, un gaz, modélisé par une particule rencontrant de façon aléatoire d'autres particules, l'interaction étant décrite par un potentiel dépendant d'un paramètre aléatoire. A l'échelle microscopique le système est décrit par une équation de Schrödinger et à  l'échelle macroscopique par l'équation de Boltzmann linéaire.
Nous présenterons
• les modèles microscopique et macroscopique et leurs intérprétations intuitives,
• une approche qui relie de façon rigoureuse les deux équations en termes de mesures semi-classiques,
• un lien entre les champs aléatoires gaussiens et l'espace de Fock et comment ce lien peut être utilisé pour traduire le problème du language des probabilité en un language plus géométrique,
• les avantages et les inconvénients de cette méthode par rapport à  celle qui existe déjà .