Pour une variété abélienne $A$ sur un corps de nombres il existe une borne classique en fonction de la dimension de $A$ au degré minimal $d(A)$ d'une extension où A atteint réduction semi-stable. Après les avoir défini, on montre comment les groupes de monodromie finie (étudiés par Silverberg et Zarhin) permettent le calcul de $d(A)$. Ensuite avec un lemme d'approximation faible "à extension finie près" et une étude d'un espace de module de variétés abéliennes on obtient un résultat de type principe local-global pour les groupes de monodromie finie qui, avec une construction utilisant des variétés abéliennes CM, donne un encadrement du maximum des $d(A)$, pour $A$ de dimension fixée, presque optimal et améliorant la borne classique.