Problème de Kakeya en dimension 2

Le problème 1) est le suivant : quelle est l'aire minimale qu'une aiguille de taille 1 doit balayer lorsque je veux la retourner dans le plan ?

On s'intéressera aussi au problème dual 2) : soit un compact du plan qui contient au moins un segment de droite de longueur 1 dans chaque direction, que peut-on dire de sa dimension \métrique\ (de Haussdorf)?
Un compact vérifiant la précédente propriété sera appelée un ensemble de Kakeya.

Ces deux questions seront pour moi l'occasion de vous introduire à quelques outils de théorie géométrique de la mesure (les mesures de Haussdorf, les lemmes de recouvrememnt) ainsi qu'à quelques outils d'analyse harmonique (les fonctions maximales, la dualité). Dans cette exposé, seules les idées seront exposées agrémentées de beaucoup de dessins!! (Si le temps me le permet, je vous parlerai de ce qu'il se passe en dimension supérieure ou la question 2) reste encore ouverte.