Métriques extrémales, Quantization et minoration de la fonctionnelle de Mabuchi modifiée

Les métriques de Kähler à  courbure scalaire constante (CSCK) ou extrémales peuvent être définies comme les points critiques de fonctionnelles de Mabuchi.
D'après les travaux de Donaldson, on sait qu'une métrique de Kähler à  courbure scalaire constante sans automorphisme est la limite d'une suite de métriques projectives dites équilibrées. Le formalisme des métriques \sigma-équilibrées de Sano généralise celui des métriques équilibrées dans le cadre de la recherche des métriques extrémales.
Ce nouveau contexte et les techniques développées par Donaldson permettent de montrer que si $(X,L)$ est polarisée extrémale, alors la métrique extrémale atteint le minimum de la fonctionnelle de Mabuchi modifiée. L'existence d'une borne inférieure pour cette fonctionnelle est aussi étendue aux petites déformations complexes préservant l'action du champ de vecteur extrémal. Les arguments employés ici sont élémentaires par rapport aux technologies développées par Mabuchi d'une part, et Chen et Tian d'autre part.