Hyperbolicité et points rationnels des variétés projectives.

On commence par introduire la métrique hyperbolique du disque unité et ses géodésiques. Si $X$ est une variété algébrique projective, on peut relier deux points $x$ et $y$ de $X$ par des chaines de géodésiques. On dit alors que $X$ est hyperbolique lorsque l'infimum $d(x,y)$ des longueurs de ces chaines définit une distance sur $X$. Si $X$ est définie par des polynomes homogènes $P_1$,$\\dots$,$P_n$ à coefficients rationnels, une conjecture de Lang prédit l'équivalence de cette condition avec la suivante : pour tout corps de nombres $K$, le système d'équations $P_1=...=P_n=0$ n'a qu'un nombre fini de solutions dans $K$. Dans le cas des courbes, il s'agit déjà d'un problème difficile, proposé par Mordell en 1922 et résolu par Faltings en 1986.