Géométrie et Topologie de problèmes elliptiques surdéterminés: vers une réponse complète à une conjecture de Berestycki-Caffarelli-Nirenberg

Soit $\Omega$ un domaine du plan sur lequel il existe une solution positive u au problème elliptique surdéterminé suivant:

\Delta u + f(u) = 0

sur $\Omega$ avec condition de Dirichlet nulle au bord et condition de Neumann constante au bord, où f est une fonction Lipschitz. Quelles conditions géométriques et topologiques doit satisfaire $\Omega$ pour que cette solution u existe ?
Dans cet exposé on donnera des conditions nécessaires. Ces conditions démontreront ainsi une conjecture de Berestycki-Caffarelli-Nirenberg en dimension 2 pour une classe assez large de problèmes surdéterminés.