Les arbres de Galton-Watson dont la loi de reproduction a une queue polynomiale apparaissent naturellement comme limite locale du modèle de configuration. Sur ces arbres, le processus de contact avec taux d'infection $\lambda>0$ a toujours une probabilité de survie strictement positive, due à la présence de sommets de grand degré $k$, où le processus de contact peut se maintenir localement pendant un temps exponentiel en $k/\lambda^2$. Nous étudions comment ce résultat est transformé lorsqu'on immunise tous les sommets de degré supérieur à un seuil dépendant de $\lambda$, mettant en lumière des transitions de phases intéressantes, notamment à des seuils de l'ordre de $|\log\lambda|/\lambda^2$ ou $\log^2\lambda/\lambda^2$.