Christine Lescop

En 2018, Watanabe a construit au-dessus de la sphère $S^2$ un fibré lisse $E_W$ non trivial en boules $D^4$ de dimension 4, dont le bord est le fibré trivial $S^2 \times \partial D^4$.
Il a défini une classe caractéristique pour de tels fibrés, selon une stratégie proposée par Kontsevich dans les années 90, et il a montré que ce fibré lisse $E_W$ (topologiquement trivial) est non trivial, en calculant cette classe qui compte des configurations de points dans de tels fibrés. 

L'existence du fibré $E_W$ montre que le groupe fondamental du groupe $\mbox{Diff}(D^4,\partial D^4)$ des difféomorphismes de $D^4$ qui se restreignent au bord comme l'identité est non trivial. Elle implique que le $\pi_1$ du groupe de difféomorphismes de la sphère de dimension 4 n'est pas isomorphe au $\pi_1$ du groupe orthogonal $O(5)$, contrairement à ce qui était prédit par ce qui est parfois appelé ``la conjecture de Smale en dimension $4$''.

Plus généralement, Watanabe a montré que les espaces vectoriels $\pi_i(\mbox{Diff}(D^4,\partial D^4)) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ sont non triviaux pour $i=1$, $4$, $8$ ...

Je présenterai la construction et la détection de classes d'homotopie exotiques du groupe de difféomorphismes de la sphère de dimension 4 par Watanabe.
Cet exposé de séminaire très accessible pourra servir d'introduction à une série d'exposés de groupe de travail où l'on détaillera les constructions impliquées.