Antoine Etesse

Le but de l’exposé est de discuter de la structure des polynômes dits différen-
tiellement homogènes en (N + 1) ≥ 2 variables.

On commencera par en motiver l’introduction, via des considérations
géométriques issues de l’hyperbolicité (au sens de Kobayashi). Notamment, on par-
lera de différentielles de jets, et de courbes entières. De façon plus précise, l’espace
vectoriel V diff des polynômes différentiellement homogènes (en (N + 1) variables)
peut être mis en correspondance avec les différentielles de jets (tordues) sur l’espace
projectif P N . Cette correspondance est une généralisation naturelle "aux ordres
supérieurs" du fait bien connu suivant: les polynômes homogènes s’identifient aux
sections globales des puissances du fibré de Serre O P N (1) sur l’espace projectif P N .
L’espace vectoriel V diff =
est naturellement gradué par le degré. En algèbre différentielle, une conjecture,
attribuée à Schmidt–Kolchin, prédit que la dimension de la dème pièce graduée est
finie, de dimension (N + 1) d . Cette conjecture a été démontrée pour N = 1 par
Reinhart, en 1999. On discutera d’une preuve de cette conjecture, valable pour
tout N ≥ 1.

La résolution de la conjecture de Schmidt–Kolchin clôt en quelque sorte l’étude
de V diff en tant qu’espace vectoriel. Si le temps le permet, on finira par discuter
pourquoi une meilleure appréhension de l’espace V diff en tant qu’algèbre est in-
téressante.