Anneaux d'entiers principaux et polynômes zêta.

On s'intéresse à  une condition nécessaire portant sur le polynôme numérateur de sa fonction zêta pour qu'un corps de fonctions quadratique réel sur un corps fini ait un anneau d'entiers principal.
Après avoir rappelé l'analogue de la conjecture de Gauss pour les corps de fonctions et montré l'infinitude dans notre cas particulier, on étendera la question à  celle de l'existence de jacobiennes absolument simples en toute dimension.