Pour une variété riemannienne compact donnée, il est en général
très difficile d'estimer la norme $L^{\infty}$ des modes propres du
laplacien, normalisés dans $L^2$, en fonction de la valeur propre
$-\lambda^2$ associée. A l'inverse, le théorème de Sogge apporte une
réponse complète à la question d'estimer la norme $L^{\infty}$ maximale
d'un quasimode normalisé dans $L^2$ et supporté dans un intervalle de
fréquence de taille finie $[\lambda - 1, \lambda +1]$.

Dans cet exposé, j'introduirai le problème intermédiaire d'estimer la
norme $L^{\infty}$ d'un quasimode supporté dans une fine fenêtre de
fréquence $[\lambda-\delta,\lambda + \delta]$, où $\delta \to 0$ lorsque
la fréquence cible $\lambda \to \infty$, et j'expliquerai comment voir ce
problème comme une détermination de l'échelle la plus petite jusque
laquelle la masse spectrale du laplacien est bien répartie.

J'expliquerai comment utiliser la complète intégrabilité, et plus
particulièrement la version quantique découverte par Colin de Verdière,
pour adapter la méthode microlocale au cas $\delta \sim
\lambda^{-\kappa}$, dans le cas modèle d'une surface de révolution.