Algèbre et géométries

Les principaux axes de recherche peuvent être regroupés en quatre grands sous-thèmes :

• Algèbre, algèbre homologique, théorie des représentations ;
• Géométrie algébrique ou analytique ;
• Groupes algébriques et géométrie ;
• Singularités.

Ces sous-thèmes ne sont évidemment pas disjoints. L’interaction entre les membres de l’Institut Fourier concernés par ces directions de recherche se fait entre autres par le biais du séminaire hebdomadaire, animé par les membres du thème et organisé par Philippe Eyssidieux, Jean Fasel et Jérémy Guéré, qui se déroule le lundi de 14h00 à 15h00.

Algèbre, algèbre homologique, théorie des représentations

La thématique de recherche de C. Amiot est la théorie des représentations des algèbres non commutatives. Au sein de cette thématique plusieurs aspects sont étudiés, d'un côté les représentations de carquois et la théorie d'Auslander-Reiten, d'un autre les catégories dérivées avec des outils provenant de l'algèbre homologique ou de la théorie du basculement (tilting) et enfin les catégories en lien avec la combinatoire des algèbres amassées (cluster).

G. Berhuy s'intéresse à l'étude des invariants de structures algébriques (groupes, algèbres, variétés, formes quadratiques, etc.). Étant donné une classe d'objets mathématiques, munie d'une relation d'isomorphisme, un invariant est une quantité à valeurs dans un groupe abélien qui est constante sur les classes d'isomorphismes. Cet invariant peut être discret (à valeurs entières), ou cohomologique (à valeurs dans un groupe de cohomologie bien choisi).

La théorie des représentations n'’est pas étrangère aux préoccupations de M. Brion.

J. Fasel s'intéresse à la classification des fibrés vectoriels sur des schémas affines lisses sur un corps non nécessairement algébriquement clos, et plus spécifiquement aux calculs des faisceaux d'homotopie motivique de sphères algébriques. Il a également développé récemment un intérêt pour les motifs à la Voevodsky. 

Les représentations modulaires des groupes finis et des algèbres font l’'objet des travaux d'O. Garotta. Elle s'intéresse actuellement aux propriétés des valeurs des caractères des groupes finis, notamment en lien avec les corps les contenant. D’autre part, elle s’est récemment investie dans un travail sur les codes munis de la métrique du rang associés à une extension finie de corps. En collaboration avec J. Fasel et G. Berhuy, elle a montré dans ce cadre général que les différentes notions de rangs généralisés proposées ces dernières années coıncident.

E. Herscovich s'intéresse à l'algèbre homologique et la théorie des représentations des algèbres. Il a en particulier étudié les propriétés homologiques et la théorie des représentations d'une famille d'algèbres qui apparaît de façon naturelle dans la théorie de jauge en physique, les algèbres de (super) Yang-Mills, en utilisant des outils de géométrie non commutative.

Géométrie algébrique ou analytique

M. Deraux s'intéresse aux liens entre la topologie et la géométrie des variétés, à l'existence et à la construction de structures géométriques sur certaines classes de variétés (espaces de modules, fibrations). Il explore en particulier la classe des variétés qui admettent une métrique de Kähler à courbure sectionnelle négative, qui contient deux grandes classes d'exemples : d'une part les variétés hyperboliques complexes, qui admettent une métrique à courbure holomorphe -1 ; et d'autre part les variétés de type Mostow-Siu, qui sont localements des revêtements ramifiés de l'espace hyperbolique complexe, et n'admettent aucune métrique riemannienne localement symétrique.

P. Eyssidieux s'intéresse aux équations de Monge-Ampère complexe, à leurs flots et aux applications en géométrie kählérienne comme l'existence de métriques de Kähler-Einstein, aini qu'à la topologie des variétés algébriques complexes, notamment à l'étude de leur groupe fondamental, avec applications à l'uniformisation en plusieurs variables complexes.

Les travaux d'H. Gaussier concernent la géométrie des variétés (presque) complexes. Il étudie les pseudo-métriques invariantes dans les variétés ouvertes, telles que les métriques de Carathéodory et de Kobayashi (métriques de Finsler) ou les métriques de Bergman et de Kähler-Einstein (métriques de Kähler). Il s'intéresse aussi aux propriétés métriques des espaces hyperboliques au sens de Kobayashi, en lien notamment avec la notion d'hyperbolicité au sens de Gromov. Il étudie enfin la stabilité par déformation des structures presque complexes.

Les principaux travaux de D. Gayet concernent la topologie et la géométrie des hypersurfaces aléatoires, dans un cadre algébrique projectif réel ou complexe. Dans le cas réel, il s'agit de comprendre la statistique, à grand degré fixé, de certains observables d'une hypersurface aléatoire algébrique réelle, comme le nombre de composantes connexes ou leur type topologique. Dans le cas complexe, où à degré donné la topologie ne dépend pas de l'hypersurface, il s'agit de comprendre la topologie locale ou la courbure de la restriction de la métrique ambiante à l'hypersurface aléatoire. Ces méthodes probabilistes ont des conséquences déterministes. Parallèlement, D. Gayet s'intéresse à la percolation des champs lisses gaussiens, c'est-à-dire l'existence (avec probabilité contrôlée) de grandes composantes connexes du lieu d'annulation d'une fonction (analytique) aléatoire. Le champ le plus naturel dans ce domaine est justement la limite locale des sections aléatoires des grandes puissances d'un fibré ample, par l'universalité du noyau de Bergman.

Les travaux de J. Guéré portent sur les espaces de modules des courbes complexes stables construits par Deligne et Mumford et sur la théorie de Gromov-Witten des variétés projectives. Il s'intéresse aussi aux liens entre géométrie énumérative des courbes complexes et certaines hiérarchies intégrables hamiltoniennes.

S. Kosarev s'intéresse à l'analyse non standard et à la logique, en lien avec la géométrie analytique.

La théorie des corps d'Okounkov généralise aux variétés algébriques non toriques la correspondance entre sections d'un fibré en droites et points entiers d'un corps convexe. Ils font l’'objet des travaux de C. Maclean.

Groupes algébriques et géométrie

Parmi les variétés algébriques admettant beaucoup de symétries, les variétés toriques forment une classe très accessible et omniprésente en géométrie algébrique ; elles jouent un rôle important dans les travaux de M. Moralès. Les problèmes de classification de variétés munies d’une action d’un groupe algébrique sont étudiés par M. Brion. Il s'intéresse également à des questions sur la structure des groupes algébriques.

Singularités

Les singularités en géométrie algébrique ou analytique sont étudiées par des approches très diverses : algèbre commutative et combinatoire (M.Moralès), topologie des applications analytiques (H. Maugendre). Les travaux d'H. Maugendre concernent la topologie et  la résolution  des singularités de surfaces normales complexes. Elle s'intéresse d'une part  à l'étude  des morphismes finis  définis sur une surface normale complexe à valeurs dans le plan complexe, en relation avec le lieu critique, le lieu discriminant, et des invariants de type topologique de ces morphismes, et d'autre part à la topologie des pinceaux de courbes sur une surface normale.