Hélène Halconruy

Un phénomène d’agglutination peut être observé quand on étudie le nombre de séries de t “pile” obtenues lors d’une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie ou le nombre d’apparitions d’un mot rare dans une séquence d’ADN. La méthode de Chen-Stein s’avère un outil particulièrement efficace pour borner l’erreur d’approximation lorsque la loi du nombre d’agglomérats peut être approchée par une loi de Poisson (éventuellement composé). Dans le travail sur lequel est basé cet exposé, on revisite cette méthode en ramenant les deux problèmes évoqués à celui d’approximations poissoniennes pour des fonctionnelles de processus binomiaux marqués (MBP), i.e., les analogues discrets de processus de Poisson composés. On développe alors des outils d’analyse stochastique pour les MBP ainsi qu’un calcul de Malliavin basé sur une famille d’opérateurs (gradient, divergence etc.). Sous ce nouveau formalisme, on obtient un critère général - pour la distance en variation totale - d’approximation poissonienne pour des fonctionnelles de MBP qui s’exprime en termes d’opérateurs de Malliavin. Dans cet exposé, on donnera des éléments du calcul de Malliavin développé pour les MBP, avant d’énoncer le résultat général d’approximation et de l’illustrer par l’application aux deux situations évoquées plus haut.