Razvan Barbulescu

(travaux communs avec Sudrashan Shinde)

Le théorème de l'image ouverte de Serre (1972) affirme que toute courbe elliptique non-CM a les points de $\ell^k$-torsion dans un corps de nombres de groupe de Galois $\operatorname{GL}(\ell^k,m)$, sauf pour un nombre fini de premiers $\ell$ et, pour ces derniers, uniquement pour un nombre fini de puissances $k$. Serre a ouvert le problème de borner $\ell^k$ uniformément sur E et Mazur (1977) a énoncé le programme suivant : paramétrer pour tout corps de nombres $K$ et tout $\ell^k$ les courbes elliptiques non-CM définies sur $K$ pour lesquelles le groupe de Galois associé aux points de $\ell^k$-torsion n'est pas maximal. Le sujet est très actif et un résultat récent de Le Fourn (2016) résout par exemple le programme de Mazur sur la famille particulière des $\mathbb{Q}$-courbes de manière uniforme sur les courbes $E$ et également uniforme sur les corps de nombres quadratiques imaginaires.   

En cryptographie, pour comprendre la sécurité offerte par le système RSA on doit comprendre l'algorithme ECM de Hendrik Lenstra, dans sa variante utilisée en pratique. Nous allons décrire cet algorithme et expliquer pourquoi la question suivante est importante : étant donnée une courbe elliptique $E$ et un entier $m$, calculer la densité naturelle des premiers $p$ tels que le cardinal de $E(\mathbb{F}_p)$ est divisible par $m$, et inversement paramétrer les courbes $E$ où cette densité n'a pas la valeur générique. Nous avons prové en 2012 que cela revient à résoudre le programme de Mazur.

Nous allons rappeler l'état de l'art sur le programme de Mazur, en mettant l'accent sur son côté effectif. Nous finirons par prouver des conséquences sur l'algorithme ECM. En particulier nous prouvons qu'il existe précisément 1525 familles de courbes définies sur $\mathbb{Q}$ adaptées à cet algorithme.