Laurent Michel

Soit $U_h:\mathbb R^{d}\to \mathbb R^{d}$ un champ de vecteur régulier.
Considérons l’équation de Langevin sur amortie associée $$dX_t=-U_h(X_t)\,dt+\sqrt{2h}\,dB_t$$  dans le régime basse
temperature  $h\rightarrow 0$. Dans cet exposé, on décrira le spectre du générateur associé
$L=-h\Delta+U_h\cdot\nabla$ sous l’hypothèse que la dynamique $X_t$ possède une mesure invariante de la forme
$e^{-\frac Vh}$ pour une fonction régulière $V:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$.
Sous l’hypothèse supplémentaire que  $V$ est une fonction de Morse admettant  $n_0$ minima locaux, on démontre que pour $h>0$ assez petit
$L$ admet exactement $n_0$ valeurs propres dans une bande $\{\operatorname{Re}(z)<\epsilon\}$.
On démontre aussi que ces valeurs propres sont exponentiellement petites et vérifient des formules d’Eyring-Kramers.
Travail en commun avec D. Le Peutrec