Le Laplacien Hypoelliptique

Si X est une variete riemannienne, le laplacien est un operateur elliptique d'ordre 2 sur X. Le laplacien hypoelliptique L_b b>0 est un operateur agissant sur l'espace total du fibre tangent de X qui est censé interpoler entre le laplacien elliptique et le generateur du flot geodesique.
A des termes d'ordre inferieur pres, le laplacien hypoelliptique est la somme pondérée de l oscillateur harmonique le long de la fibre de TX et du generateur du flot geodesique.

Il y a autant de laplaciens hypoelliptiques que de laplaciens elliptiques provenant de la géométrie. Dans le cas des espaces symétriques, le spectre de l'opérateur de Casimir est rigidement plongé dans le spectre de la déformation hypoelliptique. On peut utiliser ce fait pour évaluer explicitement les intégrales orbitales semi-simples, en rapport avec la formule des traces de Selberg.