Constructions récentes de groupes discrets simples

Je commencerai avec un problème facile à formuler : l'existence et la construction de groupes infinis, simples et de type fini ; c'est une question naturelle de théorie des groupes. Une remarque de départ est que, pour les groupes infinis de type fini, être simple et être linéaire (c'est-à-dire isomorphe à un groupe de matrices) sont des propriétés incompatibles. Ceci force à travailler sur des groupes pour lesquels les techniques de groupes de matrices ou de groupes algébriques sont inopérantes (mais pas les intuitions !). On expliquera qu'une question plus délicate et plus intéressante est celle de la construction de groupes infinis simples qui soient de présentation finie (on demande non seulement un nombre fini de générateurs, mais aussi un nombre fini de relations dans une présentation convenable). On finira en expliquant une stratégie récente de construction, s'appuyant sur une analogie (limitée) avec les réseaux des groupes de Lie ; les groupes obtenus agissent sur le produit de deux arbres, ou plus généralement de deux immeubles.