Unimodularité et dualité de Calabi-Yau pour les algèbres d'opérateurs différentiels

L'algèbre des opérateurs différentiels, ou algèbre enveloppante, associée à  une algèbre commutative S munie d'une action par dérivations d'une algèbre de Lie L a été introduite par Rinehart (1963). Les exemples les plus classiques viennent des algèbres de Lie, des structures de Poisson et des algébroïdes de Lie. En 1999, Huebschmann a établi des propriétés remarquables de dualité sur les groupes de (co)homologie associés à  une telle paire (S,L). Cette dualité est reliée à  l'existence d'une classe modulaire qu'il définit et qui, dans les exemples ci-dessus, est déterminée par la classe modulaire introduite par Weinstein. Parallélement, l'algèbre des opérateurs différentiels a, dans bien des exemples, une dualité de Calabi-Yau au sens de Ginzburg. C'est le cas des algèbres de Weyl, mais aussi des algèbres enveloppantes d'algèbres de Lie unimodulaires. Cet exposé présentera les liens entre la classe modulaire de (S,L) et l'existence d'une dualité de Calabi-Yau sur l'algèbre des opérateurs différentiels associée.