Exemples de schémas de Hilbert invariants pour l'opération du groupe linéaire

On considère $G=GL(V)$ et $X=V^p \oplus V*^q$ avec $p,q$ des entiers.
Nous allons étudier le schéma de Hilbert invariant $H$ qui paramètre les sous-schémas fermés $G$-stables $Z \subset X$ tels que $k[Z] \cong k[G]$ comme $G$-module. Nous verrons que $H$ est une variété lisse si $dim(V)=1$ ou $2$, mais que $H$ est singulier pour $dim(V)=3$. En particulier, lorsque $H$ est lisse, le morphisme de Hilbert-Chow $H \rightarrow X//G$ est une résolution des singularités de $X//G$.
Ensuite, on donnera quelques résultats analogues dans le cadre symplectique en prenant $p=q$ et en remplaçant $X$ par $\mu^{-1}(0)$ la fibre en zéro de l'application moment $\mu: X \rightarrow \End(V)$.
Enfin, si le temps le permet, nous discuterons de ce qui arrive si l'on fait opérer un autre groupe classique que $GL(V)$, par exemple si l'on considère l'opération de $O(V), SO(V), Sp(V)$ dans $V^p$.