Un problème d'extension de formes pluricanoniques.

Soit $pi : XXTo Delta$ une famille de variétés projectives et $(L,h)$ un fibré pseudo-effectif sur $XX$ ($i.e.$ la coubure $curv{h}{L}$ de $L$ est un courant positif fermé). Dans ses travaux sur l'invariance des plurigenres, Y. T. Siu s'intéressait à  l'extension de sections de $mK_{XX_0}+L$ (au dessus de la fibre centrale $XX_0$) en sections de $mK_XX+L$. On considère ici le problème suivant : étendre des sections de $m(K_XX+L)$. Plus précisément, sous la condition de trivialité de l'idéal muliplicateur de la métrique $h$ sur la fibre centrale ($mathcal{I}(h_{vert XX_0})=mathcal{O}_{XX_0}$), on montre que toute section de $m(K_{XX_0}+L)$ s'étend en une section de $m(K_XX+L)$ ; en d'autres termes, l'application de restriction
$$H^0(XX,m(K_{XX}+L))To H^0(XX_0,m(K_{XX_0}+L))$$
est surjective.