Tours modulaires et torsion des variétés abéliennes.

L'esprit général de cet exposé est d'établir un lien entre la
théorie de Galois inverse régulière - notamment les tours modulaires - et celle des variétés abéliennes.

Fixons un nombre premier $p$, un groupe fini $p$-parfait $G$ et un
$r$-uplet $mathbf{C}$ de $p$'-classes de
conjugaison de $G$. A partir de ces données, M. Fried construit
canoniquement une
tour d'espaces de Hurwitz réduits appelée la
tour modulaire associée à  $(G,p,mathbf{C})$. Quand on
prend pour $G$ le groupe dihédral $D_{2p}$ et pour
$mathbf{C}$ quatre copies de la classe de conjugaison des
involutions, la tour modulaire correspondante est la tour usuelle
des courbes modulaires $(Y_{1}(p^{n+1})
ightarrow
Y_{1}(p^{n}))_{ngeq 0}$. Les conjectures de Fried généralisent
les théorèmes de Manin, Mazur et Merel aux tours modulaires.

Cependant, dans la construction de Fried, le lien originel
avec le problème de modules classifié par les courbes modulaires
n'apparait plus. Je commencerai donc par définir une variante de
la cette construction - que j'appelle tour modulaire
abélianisée - et dont les propriétés arithmétiques sont
fortement liées à  la torsion sur les variétés abéliennes
via la théorie du corps de classes pour les corps de
fonctions. Par exemple, la conjecture de torsion forte pour les
variétés abéliennes implique la conjecture de Fried à  la
Merel pour les tours modulaires
abélianisées.

Je montrerai ensuite qu'étant donnés un corps de
nombres $k$ et une extension finie $E/k(T)$ régulière sur $k$,
un groupe profini $ ilde{G}$ extension d'un groupe fini par un pro-$p$
groupe
admettant un quotient isomorphe à  $mathbb{Z}_{p}$ ne peut être
le groupe de Galois d'une extension $K/overline{k}.E$ de corps des
modules un corps
de nombres. L'une des conséquence de ce résultat est qu'il n'existe pas
de système projectif de points
$k$-rationnels sur les tours de Hurwitz associées à  $ ilde{G}$,
notamment sur les tours modulaires abélianisées. Dans le cas
$r=4$, cela permet - via Faltings - de réduire la preuve de
la conjecture de Fried à  la Manin à  un calcul de
genre. Via un argument de dualité, on peut même montrer
qu'étant donné
un corps de nombres $k$, il n'existe pas de système projectif de
points $k^{cyclo}$-rationnels sur les tours modulaires
abélianisées.

Dans certains cas, j'expliquerai comment inverser la
construction du corps de classes pour construire des extensions
galoisiennes d'invariants fixés à  l'avance. Cela me permettra
par exemple de prouver la conjecture dihédrale sur
$mathbb{Q}^{ab}$ i.e.Tout groupe dihédral peut
être régulièrement réalisé comme groupe de Galois d'une
extension $K/mathbb{Q}^{ab}(T)$ régulière sur $mathbb{Q}^{ab}$
avec uniquement des groupes d'inertie d'ordre $2$.

Inversement, les propriétés arithmétiques des tours
modulaires permettent d'obtenir des résultats sur les
variétés abéliennes. En utilisant les techniques
de recollement à  la Harbater-Pop pour les G-revêtements,
je montrerai que le théorème de Manin pour les courbes
modulaires, le théorème de Ribet sur la finitude du groupe de
torsion des points à  valeur dans la cloture cyclotomique et le
théorème de finitude de Faltings pour les isogénies ne sont
plus vrais sur des corps valués henseliens de caractéristique
$0$.