Monoïdes algébriques affines.

Un monoïde algébrique est une variété algébrique irréductible $M$ munie d'un produit associatif qui est un morphisme de variétés et qui admet un élément neutre. Il est bien connu que le groupe des éléments
inversibles $G(M)$ est alors un groupe algébrique, ouvert dans $M$.

Mumford a montré que si de plus $M$ est une variété projective, alors
$G(M) = M$, c'est-à -dire $M$ est une variété abélienne. D'autre part,
Renner a montré que si $M$ est une variété quasi-affine, alors
$M$ est nécessairement affine, et il a posé la question suivante:

Soit $M$ un monoïde algébrique tel que $G(M)$ est affine ; est-ce que
$M$ est nécessairement affine ?

Dans cet exposé, on donnera une réponse affirmative à  cette question.