Métriques naturelles associées aux familles de variétés Kähleriennes

Considérerons une famille de variétés compactes Kähleriennes à  première classe de Chern nulle. Si la famille est polarisée, on peut munir la base des déformations d'une métrique naturelle qui encode des propriétés géométriques de la base. Le problème est qu'il existe des familles de telles variétés qui n'admettent pas d'une polarisation.

Nous montrons comment surmonter ce difficulté en tenant en compte non seulement la variation en module complexe, mais aussi la variation des métriques Kähleriennes sur chaque variété. Formellement ceci revient à  prendre le produit fibré de la famille de départ avec une certaine fibration holomorphe, on possède donc d'une métrique naturelle sur l'espace totale du produit fibré.

Nous exposons le lien de cet objet avec les métriques classiques de Weil-Petersson, et avec une métrique moins étudiée sur le cone de Kähler d'une variété compacte. Si le temps permet, nous discutons l'exemple de courbes elliptiques en détail.