Jouer au billard dans un polygone

On s'intéresse à la trajectoire d'une boule de billard qui évolue à l'intérieur d'un polygone et rebondit sur le bord suivant les lois de la physique habituelles. Sous une apparente simplicité se cache une théorie florissante des mathématiques, notamment via les relations avec l'action de SL(2,R) sur l'espace des différentielles quadratiques. En effet, on verra qu'à chaque billard rationnel (i.e. un billard dont les angles sont des multiples rationnels de pi) on peut associer une surface, et les trajectoires de la boule de billard vont correspondre à des géodésiques sur cette surface. Puis on étudiera les propriétés dynamiques et ergodiques des trajectoires. Est-ce qu'il y a des trajectoires périodiques ? denses ? ergodiques ? Est-ce qu'il y a des cas intermédiaires ? Toutes ces questions que vous ne vous êtes jamais posées, trouveront enfin leurs réponses ...