Introduction aux algèbres amassées (cluster).

Les algèbres amassées (cluster algebras) ont été inventées par
S. Fomin et A. Zelevinsky au début de l'an 2000. Le but initial de
Fomin-Zelevinsky était d'obtenir une approche combinatoire aux objets
construits par Lusztig dans, d'une part, ses travaux sur les bases
canoniques dans les groupes quantique et, d'autre part, ses travaux
sur la notion de positivité totale dans les groupes algébriques
réductifs. Malgré des progrès considérables ces dernières années, nous sommes encore loin de ces objectifs. Néanmoins, la théorie des
algèbres amassées est aujourd'hui en pleine floraison grâce notamment
à  ses nombreux liens avec d'autres sujets : on peut citer par exemple
la géométrie de Poisson (Gekhtman-Shapiro-Vainshtein), la théorie des
espaces de Teichmüller (Fock-Goncharov), les systèmes intégrables
(Fomin-Zelevinsky, Szenes), la combinatoire et la géométrie
combinatoire (Chapoton, Krattenthaler, Fomin-Shapiro-Thurston, ...)
et, last but not least, la théorie des représentations des carquois et des algèbres de dimension finie (Reiten et son école,
Caldero-Chapoton, Geiss-Leclerc-Schröer, ...). Dans l'exposé
introductif, nous présenterons les constructions et les résultats
fondamentaux de Fomin-Zelevinsky, illustrés par de nombreux
exemples. Dans le deuxième exposé, nous montrerons comment, dans
certains cas, les représentations de carquois permettent de
catégorifier la combinatoire des amas et de déduire certaines
conjectures de Fomin-Zelevinsky.