De Diophante à Turing en passant par Hilbert : histoire d'un itinéraire surprenant.

Les équations diophantiennes doivent faire partie des objets mathématiques les plus anciens : il suffit de savoir multiplier et additionner pour que la question de la méthode de résolution d'une équation de type $P(x1,...,xn)=0$, ou plus \simplement\ de savoir s'il existe (sans savoir lesquelles) une solution ou plusieurs solutions, vienne naturellement. Le théorème de Fermat en est un cas particulier fameux. Trouver une méthode générale permettant de dire si oui ou non une équation diophantienne admet une solution était un des $23$ problèmes posés par Hilbert. La réponse, négative (il n'existe pas de telle méthode), trouvée par Matiyasevich fait apparaître un lien étonnant avec les machines de Turing (modèle mathématique de l'ordinateur). Ainsi des objets a priori distincts, définis à des millénaires de distance se trouvent recouvrir exactement une même classe de fonction. Nous discuterons de ces liens et de comment ils peuvent permettent d'établir simplement des résultats inattendus en théorie des nombres.